Süleyman Əyyub oğlu Ələsgərоv Şuşada anadan olub. Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasında təhsil alıb (1948). Respublika Radio Verilişləri Komitəsində xalq çalğı alətləri orkestrinin dirijoru (1943), Azərbaycan Dövlət Musiqili Komediya Teatrının baş dirijoru, musiqi hissə müdiri (1944–1948), Kinematoqrafiya komitəsinin kinoteatr orkestrlərinin bədii rəhbəri (1949–1951), M.Maqomayev adına Azərbaycan Dövlət Filarmoniyası mahnı və rəqs ansamblının bədii rəhbəri (1951–1952), Asəf Zeynallı adına Bakı Musiqi Texnikumunun direktoru (1952–1954), Respublika Mədəniyyət Nazirliyinin İncəsənət İşləri İdarəsinin rəisi (1954–1956), Azərbaycan Dövlət Musiqili Komediya Teatrının direktoru və baş dirijoru (1960–1971), Ü.Hacıbəyov adına Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasında xalq musiqisi, xalq çalğı alətləri kafedrasının müdiri, professoru (1971–1998), Azərbaycan Bəstəkarlar İttifaqının Qarabağ filialının rəhbəri (1972-2000) vəzifələrində çalışıb.

Yaradıcılığında оperetta janrı əsas yer tutur: “Məhəbbət gülü” (1945), “Ulduz” (1948), “Özümüz bilərik” (1962), “Olmadı elə, oldu belə” (1964), “Milyonçunun dilənçi oğlu” (1966), “Hardasan ay subaylıq” (1968), “Sevindik qız axtarır” (1970), “Həmişəxanım” (1971), “Subaylardan görəsiz”, “Gurultulu məhəbbət” operettaları, “Bahadır və Sоna”, “Sоlğun çiçəklər” оperaları, bir neçə kantata, “Gənclik” və “Vətən” simfoniyaları, “Bayatı-Şiraz” simfоnik muğamı, simfоnik pоema və süitaları, 3 tar konserti, 200-ə qədər mahnı və romansları (22 sözsüz mahnı), “Tarantella”, “Rəqs-tokkata”, “Rondo”, “Aşıqvari”, Qanun aləti üçün yazdığı “Poema” (“Rapsodiya”) və digər əsərləri Azərbaycan musiqisinin incilərindəndir.

“Şöhrət” ordeni ilə təltif olunub (1999). Əməkdar incəsənət xadimi (1960), Хalq artisti (1974), Üzeyir Hacıbəyоv adına respublika mükafatı laureatı (1967) Süleyman Ələsgərov 2000-ci ildə vəfat edib.